Question

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C₂的参数方程为（t为参数）.

（1）求曲线C₁的直角坐标方程和直线C₂的普通方程；

（2）若P（1，0），直线C₂与曲线C₁相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.

Answer

（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3

【解析】

（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；

（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.

（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，

可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，

直线C2的参数方程为（t为参数），

可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；

（2）因为P（1，0）在直线C2上，

将直线C2的参数方程（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，

可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，

化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，

可得|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.