Question

狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（　　）

A.①② B.①③ C.③④ D.②④

Answer

B

【解析】

①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据的取值得到值域；③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在.

①的定义域为关于原点对称，当为有理数时，，当为无理数时，，

所以恒成立，所以是偶函数，

取非零有理数，当为有理数时，，当为无理数时，，

所以恒成立，有无数种可能，所以有无数条对称轴；

②因为的取值只有，所以的值域为；

③取有理数，当为有理数时，，当为无理数时，，

所以恒成立，有无数种可能，所以是周期函数且无最小正周期；

④设存在满足条件，

根据函数值域可知，的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，

(1)不妨设为有理数，为无理数，因为为等腰直角三角形，所以只能为的斜边，

所以，所以为有理数，与假设矛盾，故不成立；

(2)不妨设为无理数，为有理数，因为为等腰直角三角形，所以只能为的斜边，

所以，所以为无理数，与假设矛盾，故不成立，

综上可知：不存在三点使得为等腰直角三角形.

故选：B.