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狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题:①此函数为偶函数,且有无数条对称轴;②此...

狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题:①此函数为偶函数,且有无数条对称轴;②此函数的值域是;③此函数为周期函数,但没有最小正周期;④存在三点,使得△ABC是等腰直角三角形,以上命题正确的是(  )

A.①② B.①③ C.③④ D.②④

 

B 【解析】 ①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断;②根据的取值得到值域;③根据周期性的定义进行分析;④先假设存在,然后推理证明是否存在. ①的定义域为关于原点对称,当为有理数时,,当为无理数时,, 所以恒成立,所以是偶函数, 取非零有理数,当为有理数时,,当为无理数时,, 所以恒成立,有无数种可能,所以有无数条对称轴; ②因为的取值只有,所以的值域为; ③取有理数,当为有理数时,,当为无理数时,, 所以恒成立,有无数种可能,所以是周期函数且无最小正周期; ④设存在满足条件, 根据函数值域可知,的可能组合为:两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数, (1)不妨设为有理数,为无理数,因为为等腰直角三角形,所以只能为的斜边, 所以,所以为有理数,与假设矛盾,故不成立; (2)不妨设为无理数,为有理数,因为为等腰直角三角形,所以只能为的斜边, 所以,所以为无理数,与假设矛盾,故不成立, 综上可知:不存在三点使得为等腰直角三角形. 故选:B.
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