Question

已知函数其中a为常数，设e为自然对数的底数.

（1）当时，求过切点为的切线方程；

（2）若在区间上的最大值为，求a的值；

（3）若不等式恒成立，求a的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程；

(2)根据的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出的值；

(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出的取值范围.

（1）当时，，

则，

所以，

切点，即，

所以切线方程为，即.

（2），

当时，，在上单调递增，，无最大值.

当时，在上，单调递增，

在上，单调递增，

若函数在上取得最大值，则，且，

则.

（3）不等式恒成立，则恒成立，

，

令，（）

，

在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以，

所以.