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设为有限集合，，，…，为的子集，表示集合中元素的个数，已知对于每个正整数，都有....

设为有限集合，，，…，为的子集，表示集合中元素的个数，已知对于每个正整数，都有.

（1）记为元素个数为m的集合，当时，求集合的所有子集的个数；

（2）若一定有集合中的某个元素在至少个集合中出现，则最大值是多少？并加以证明.

 

（1）8；（2）404，证明见解析. 【解析】 (1)根据集合中的元素个数即可计算出集合的子集个数； (2)先假设元素在集合中的出现的次数之间的不等关系，然后根据即可得到元素出现次数满足的不等式，即可求解出的最大值. （1） 有个元素，所以有个子集； （2）不妨设，而在集合，，…，中出现了次，并且. 因为，所以整数的最小值为，所以. 令，，， ，， ，则. 综上，的最大值为.
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