Question

已知数列的前n项和为，且满足，数列中，，对任意正整数，.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；

（3）求数列前n项和.

Answer

（1）

（2）存在，，

（3）（）

【解析】

（1）根据与的关系即可求出；

（2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数；

（3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．

（1）因为，

当时，；

当时，．

故；

（2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，，

对任意正整数，.可得，且，

由假设可得，即，

则，可得，

可得存在实数，使得数列是公比的等比数列；

（3）由（2）可得，则，

则前n项和

当n为偶数时，

当n为奇数时，

则（）．