Question

已知椭圆的左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，离心率为e.

（1）若，设四边形的面积为，四边形的面积为，且，求椭圆C的方程；

（2）若，设直线与椭圆C相交于P，Q两点，分别为线段，的中点，坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求实数k的取值范围.

Answer

（1）

（2）

【解析】

（1）依题意可得，，，再结合，即可解出，得出椭圆C的方程；

（2）联立直线和椭圆C的方程，可解得，，再利用坐标原点O在以MN为直径的圆上，得到，且为矩形，因此，即可用表示出，然后根据离心率的范围求出的范围，即可根据二次函数的知识求出．

（1），∴，由，可得，化为，

联立，解得，，，∴椭圆C的方程为.

（2）设，，联立，可得，

∴，.

由题意可知：，且为矩形，

∴，而，

∴，

即，∴，

∵，∴，

可得，∴.