Question

定义在上的奇函数，已知当时，.

（1）求在上的解析式.

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据函数奇偶性求出，再由时，，得到，根据，即可求出结果；

（2）由题意，将原不等式化为，令，由指数函数单调性，得到单调递减，原不等式恒成立，即可转化为在上恒成立，从而可求出结果.

（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得；所以时，，

当时，，

所以，

又，所以，，

即在上的解析式为；

（2）由（1）知，时，，

所以可化为，

整理得，

令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，

所以也是减函数，

因为时，不等式恒成立，

等价于在上恒成立，

所以，只需.