Question

已知，.

（1）求的解析式；

（2）求的值域；

（3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题（1）令，则x=2t，故．从而得出f（x）的解析式；
（2）设，，下面对a进行分类讨论：①当a=0时，②当a>0时，③当a<0时，分别求出其值域即可；
（3）函数对任意x1，x2∈[-1，1]，，等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可.

试题解析：

⑴设，则

.

；

⑵设，则

当 时，对称轴，且抛物线开口向下， 的值域为

当 时，， 的值域为

综上，当时的值域为；

当 时，对称轴，在上单调递减，在上单调递增

的值域为 .

当时的值域为.

⑶由题 .

对任意总有

在满足

设，则，

当即时在区间单调递增

（舍去）

当时，不合题意

当时，

若即时，在区间单调递增

若即时在递减，在递增

若即时在区间单调递减

（舍去）

综上所述：.