Question

如图,在三棱锥D﹣ABC中,O为线段AC上一点,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.

(Ⅰ)求证:AC⊥BD;

(Ⅱ)将△BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.

Answer

(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)16π

【解析】

(Ⅰ)推导出，取AO中点E,连结DE､BE,，则，从而 AC⊥平面BDE ，即可得证(Ⅱ)由题意将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥，即可求出旋转体的体积.

(Ⅰ)证明:∵△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.

∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,

取AO中点E,连结DE､BE,如图,

则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,

∴AC⊥平面BDE,

又BD⊂平面BDE,∴AC⊥BD.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥AC,

∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,

∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形,

∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜边AO=4,

∴BO=DO=4,DE=2,BE=2,

∴将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥,

∴将△BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为:16π.