Question

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线与曲线分别交于两点（异于原点），定点，求的面积.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）将曲线C1化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）先求出定点M到射线的距离

为三角形的高，再由极坐标方程求出弦长|AB|为三角形的底，根据面积公式求解即可．

（1）【解析】
曲线C1直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，

由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y得：

曲线C1极坐标方程为ρ=4sinθ，

（2）法一:M到射线θ=的距离为d=2sin=，

|AB|=ρB﹣ρA=4（sin﹣cos）=2（﹣1）

则S△MAB=|AB|×d=3﹣．

法二：

【解析】
将θ=（ρ≥0）化为普通方程为y=x（x≥0），

∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，

由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x得：

曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，

由得∴A（，3）

得∴B（1，），

，

点M到直线，

∴．