Question

如图，长方体中，，，为棱中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的大小.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

依题意,可以建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系，求出五点坐标，（Ⅰ）通过证明可得出结论；（Ⅱ）求出平面的法向量，根据即可得出结果；（Ⅲ）先得为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，根据即可得出结果.

依题意,可以建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系(如图).

∵,,为的中点.

∴,,,,.

(Ⅰ),,

∵,

∴.

(Ⅱ),,

设为平面的法向量,则,即,

令,则,,所以,

又,设直线与平面所成的角为,则,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,∵是长方体,∴,

又,∴平面,

则为平面的一个法向量.

由(Ⅱ)知为平面的一个法向量,所以.

所以平面和平面所成的锐二面角的大小为.