Question

设椭圆:的左右焦点分别为，，上顶点为.

(Ⅰ)若.

(i)求椭圆的离心率;

(ii)设直线与椭圆的另一个交点为，若的面积为，求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，当时，若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有3个，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ)(i);(ii);(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)(i)由勾股定理化简可得，进而可得椭圆的离心率;(ii)易知，故椭圆:，求出直线方程为:，联立直线与椭圆的方程求出点坐标，计算出，则，得到，进而得出椭圆方程;

(Ⅱ)设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为，，设，，显然，不与坐标轴平行，且，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，同理得出，化简可得出关于的方程有两个不同的正实根，，且都不为1，通过数形结合思想，转化求解即可.

(Ⅰ)(i)可知，，，

∵，∴，

∴.

∴.

(ii)由(i)知，，

∴椭圆:，

可知直线斜率为1，，，

则直线方程为:，

由，得，

得，，∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∴椭圆的方程为:.

(Ⅱ)时，椭圆:，，

设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为，，

设，，显然，不与坐标轴平行，且，

所以不妨设直线的方程为，则直线的方程为，

由，消去得到，

所以，，

求得，

同理可求.

因为为以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，

所以，

整理得，

所以，

所以或，

所以或，

设，因为以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，

所以关于的方程有两个不同的正实根，，且都不为1.

∵，

所以，

解得实数的取值范围是.