Question

定义域为的函数.

（1）判断的奇偶性；

（2）判断函数在上的单调性；

（3）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围.

Answer

（1）奇函数，证明见解析；（2）减函数，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）将函数的解析式化简为，然后利用函数奇偶性的定义证明即可；

（2）任取、且，作差，并判断的符号，即可证明出函数在上的单调性；

（3）由可得出，再由（2）中的结论得出，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围.

（1），定义域为，关于原点对称，

又，

因此，函数为奇函数；

（2），

任取、且，则，

，，，，，即.

因此，函数在上为减函数；

（3）函数为上的奇函数，

由可得，

又由于函数为上的减函数，，，

由题意知，存在，使得成立，则，

因为函数在上为减函数，则，.

因此，实数的取值范围是.