Question

已知函数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，，，求证：.

Answer

（Ⅰ）有极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求导求定义域得，再分类讨论即可得出结论；

（Ⅱ）当，时，，，

令，根据导数判断得函数在上单调递增，由零点存在性定理得，使得，从而可得函数的最小值，根据单调性可得，从而得出结论．

【解析】
（Ⅰ），

当时，恒成立，则在上单调递减，无极值；

当时，令，得；令，得，

则在上单调递减，在上单调递增，有极小值为，无极大值；

（Ⅱ）当，时，，，

令，则，

所以在上单调递增.又，，

所以，使得，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为，

又函数在上是单调减函数，所以，

又，，

故．