Question

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．

Answer

（Ⅰ）,；（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）消去参数可得直线的普通方程，利用互化公式即可得曲线的直角坐标方程.

（Ⅱ）利用曲线的参数方程设点，根据点到直线距离公式求出，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得．

（Ⅰ）因为曲线的极坐标方程为，即，

将，代入上式并化简得，

所以曲线的直角坐标方程为，

消去参数可得直线的普通方程为．

（Ⅱ）设，由点到直线的距离公式得

，

由题意知，

当时，，得，

当时，|，得；

所以或．