Question

已知，，，且

（1）当时，请写出的单调递减区间；

（2）当时，设对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间的长度定义为）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围.

Answer

（1）和； （2），l的取值范围为.

【解析】

(1)运用指数不等式的解法和绝对值的几何意义，可得的解析式，然后再由指数函数的单调性可得所求单调区间；(2)由题意可得，即为，结合条件化简整理可得，可得，运用对数的运算性质化简整理，再根据对数函数的单调性可得l为关于的减函数，进而得到l的范围.

（1）当时，，令，可得，

即为，解得，所以，

单调递减区间为和

（2）由得，所以

∴

∴又，

∴

又，∴，∴，

∴

又，

∵，∴l关于a单调递减，∴.