Question

已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值；

（3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）； （2）20； （3），.

【解析】

(1)由点T在椭圆上且，可得，求得，点代入椭圆方程可求得b，从而得到椭圆的标准方程；(2) 设直线：，联立方程组 ，求出，同理求出由此能证明为定值；(3) 当直线l与x轴不垂直时，设l：，由得，推出，当l与x轴垂直时，l：，，，从而.

（1）因为点T在椭圆上且，所以，；

将点代入椭圆得，解得，

∴椭圆的方程为.

（2）设直线：，联立方程组，得，

所以，

又直线：，类似的可得

故而，为定值；

（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，，

由得

又，

令得，此时，

当l与x轴垂直时，l：，，，又，有，

综上，，.