Question

已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当（）时，该图象是斜率为的线段，其中常数且，数列由（）定义.

（1）若，求，；

（2）求的表达式及的解析式（不必求的定义域）；

（3）当时，求的定义域，并证明的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点.

Answer

（1），； （2）；时，，（）； （3）的定义域为，证明见解析.

【解析】

(1)由题意知，，当时，图像是斜率为的线段，所以，即可求出，同理求出；(2) 当时，，得，利用累加法可求得，当时，即时，化简即可求得的解析式；(3) 当时，，的定义域为，证明，时，恒有成立，运用的解析式结合不等式的性质即可得到结论.

（1）由，，当时，图像是斜率为的线段，

∴，

∴，又及，

∴，

∴即.

（2）由（1）知，，；

因为当时，，，

所以

∴

而此式对也成立，所以

又当时，，∴

即时，，（）；

（3）当时，，的定义域为

下面证明，时，恒有成立

事实上，对任总存在，使得，于是由可有，进而

当时，，

即，∴，

综上所述，的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点.