Question

已知数列.如果数列满足， ，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列 .证明：是等差数列.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据定义可以得到关于的方程组，解这个方程组可得.

（Ⅱ）我们可以先计算及，于是我们猜测，用数学归纳法可以证明这个结论.最后再去证明的“衍生数列”就是.我们也可以对 ，进行代数变形得到，再根据得到数列是的“衍生数列”.

（Ⅲ）设数列中后者是前者的“衍生数列”，要证是等差数列，可证成等差数列，由（Ⅱ）中的证明可知，，代数变形后根据为奇数可以得到.也可以利用（Ⅱ）中的代数变形方法得到，从而得到， 即 成等差数列，再根据得到成等差数列.

（Ⅰ）【解析】
因为，所以，

又，所以，

，故，同理有

，因此，，所以.

（Ⅱ）证法一：

证明：由已知， ，.

因此，猜想.

① 当时，，猜想成立；

② 假设时，.

当时，

故当时猜想也成立.

由 ①、② 可知，对于任意正整数，有.

设数列 的“衍生数列”为 ，则由以上结论可知

，其中 .

由于为偶数，所以，

所以，其中.

因此，数列即是数列.

证法二：

因为 ，

，

，

……

，

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即，

由于，，

根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”.

（Ⅲ）证法一：

证明：设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明 即可.

由（Ⅱ）中结论可知，

，

所以，，即成等差数列，

所以是等差数列.

证法二：

因为，

所以.

所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.

对于数列及其“衍生数列”，

因为 ，

，

，

……

，

由于为奇数数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即，

设数列的“衍生数列”为，

因为，

所以， 即 成等差数列.

同理可证，也成等差数列.

即是等差数列.所以成等差数列.