Question

如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于C₁的长半轴长.

（1）求实数b的值；

（2）设C₂与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁交于点D、E.

①证明：；

②记△MAB，△MDE的面积分别是若，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

试题（1）由题意直接求得；（2）①由题意，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求得，从而，即，故；②设的方程为分别与抛物线的方程联立，求得点的坐标，利用两点间距离公式求出,得到的表达式，然后把表示成关于的函数，进而求出的取值范围.

试题解析：（1）由题意知：半长轴为，则有，所以.

（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得， 设，则是上述方程的两个实根，于是.又点的坐标为，所以

故，即，故.

②设的斜率为，则的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.于是

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标,

于是

因此，又由点的坐标可知，，平方后代入上式，所以， 故的取值范围为.