Question

已知点．若曲线上存在，两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：

①；

②；

③．

其中型曲线的个数是

A. B.

C. D.

Answer

B

【解析】

对于①，A（-1，1）到直线y=-x+3的距离为，若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则|AB|=|AC|=，以A为圆心，以为半径的圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=6，联立
解得，或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．
对于②，化为，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．
对于③，根据对称性，若上存在两点B、C使ABC构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设BC所在直线方程为x-y+m=0，由题意知A到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得m=-，所以曲线③是T型线．