Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，

且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

Answer

（1）（2）（3）直线过定点（）．

【解析】

试题（1）求椭圆方程一般利用待定系数法求解，由题意得△中，因此，从而（2）求轨迹问题，一般根据题意选择对应方法，本题涉及相关点，采取转移法，即设的中点坐标为,点，则，再代入，可得轨迹方程（3）研究直线过定点问题，一般先利用坐标表示直线方程，再利用方程恒成立问题求相应定点，解题关键为将直线方程表示为点斜式，即将y轴截距用斜率表示

试题解析：（1）由已知可得，所求椭圆方程为．

（2）设点，的中点坐标为, 则

由,得代入上式 得

（3）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，由得．

则． 由已知，

所以，即．

所以，整理得．故直线的方程为，即（）．所以直线过定点（）．

若直线的斜率不存在，设方程为，设，，由已知，得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．