Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点：

(1)求点D到平面A₁BE的距离；

(2)在棱上是否存在一点F，使得B₁F∥平面A₁BE，若存在，指明点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)；(2) 存在点，为中点

【解析】

（1）根据体积桥，首先求解出，进而根据解三角形的知识可求得，从而可构造关于所求距离的方程，解方程求得结果；（2）将平面延展，与底面交于且为中点，过点可作出的平行线，交于，为中点，即为所求的点；证明时，取中点，利用中位线可证得，从而可知平面，再利用平行四边形证得，利用线面平行判定定理可证得结论.

（1）连接，，则

又，，

设点D到平面A1BE的距离为

则，解得：

即点D到平面A1BE的距离为：

（2）存在点，为中点

证明如下：取中点，连接，

分别为中点

又 ，则四点共面

平面

又四边形为平行四边形 ，又平面

平面