Question

如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为．

(1)求圆锥的侧面积；

(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；

(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小．

Answer

(1)；(2)；(3)

【解析】

（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作交圆锥底面圆于点，则即为异面直线与所成角，在中，求解出三边长，利用余弦定理可求得，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若为的中心，则即为侧棱与底面所成角，在中利用正切值求得结果.

（1）设圆锥高为，母线长为

由圆锥体积得：

圆锥的侧面积：

（2）作交圆锥底面圆于点，连接，

则即为异面直线与所成角

由题意知：，

，又

即异面直线与所成角为：

（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为

又 ，即为边长为的等边三角形

设为的中心，连接，则

三棱锥为正三棱锥 平面

即为侧棱与底面所成角

即侧棱与底面所成角为：