Question

如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点，分别是线段，的中点.求证：

（1）平面；

（2）.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）取，的中点，，连结，，，利用三角形的中位线性质可证，，可证四边形是平行四边形，可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面；
（2）利用线面垂直的性质可证，又，利用线面垂直的判定定理可证平面，可证，又证，利用线面垂直的判定定理可证平面，进而利用线面垂直的性质可证．

证明：（1）取，的中点，，连结，，，

三角形中，，为，的中点，所以，

；三角形中，，为，的中点，

所以，，

因为四边形是矩形，所以，，

从而，，所以四边形是平行四边形.

所以，又平面，平面，所以平面.

（2）因为平面，平面，所以.

因为四边形是矩形，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

又平面，所以.

因为，为的中点，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面.

又平面，所以.