Question

设集合，，.

（1）求中所有元素的和，并写出集合中元素的个数；

（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.

Answer

（1）中所有元素的和为24；集合中元素的个数为（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意求出，代入即可；

（2）利用数学归纳法证明，当时，显然成立，假设，时，结论成立，即，且，当时，取，，证明即可.

（1），

所以中所有元素的和为24；集合中元素的个数为.

（2）取，下面用数学归纳法进行证明.

①当时，，

取，，，，，，，，有

，且成立.

②假设当，且时，结论成立，有，且成立.

当时，取，

，

此时，无公共元素，且.

有，且

，

，

由归纳假设知，且，所以

，

即当时也成立；

综上可得：能将集合，分成两个没有公共元素的子集和，，使得成立.