Question

已知.

（1）若时，函数经过点，且，求的表达式；

（2）在（1）的条件下，关于的方程有且只有四个不同的实根，求实数的取值范围；

（3）若，，当时，求的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意得出，可求出的值，再由，可知二次函数的图象关于直线对称，可求出的值，进而可求得函数的表达式；

（2）由得出，将问题转化为当直线与函数的图象有四个交点时，求实数的取值范围，利用数形结合思想即可求解；

（3）分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出该函数在区间上的最小值.

（1）当时，，

函数经过点，即，

又，函数的图象关于直线对称，，得，

因此，；

（2）关于的方程有且只有四个不同的实根，即函数与函数的图象有四个交点，

，如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，

因此，实数的取值范围是；

（3），，.

（i）当时，在区间上单调递减，；

（ii）当时，函数图象的对称轴为直线，图象开口向上，

①当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，；

②当时，即当时，函数在区间上单调递减，则；

（iii）当时，函数图象的对称轴为直线，开口向下，

函数在区间上单调递减，.

综上所述，.