Question

若定义在上的函数对任意的、，都有成立，且当时，.

（1）求证：为奇函数；

（2）求证：是上的增函数；

（3）若，解不等式．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）构造函数，由题意得出，先令求出的值，再令，，代入可证明出函数为奇函数；

（2）任取，由题中条件得出，于此可得出函数在上的单调性；

（3）由题意得出，于此可将不等式化为，由函数在上的单调性得出，解出该不等式可得出实数的取值范围.

（1）证明：定义在上的函数对任意的、，

都有成立，

构造函数，则，

即.

令，得，所以，.

由于函数的定义域为，关于原点对称，

令，，则，，

因此，函数为奇函数；

（2）任取，则，.

另一方面，即，

因此，函数在上为增函数，即函数在上为增函数；

（3），则，，

由，得，即，

，又，，

所以，.

由于函数在上单调递增，所以，，即，

解得，因此，不等式的解集为.