Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．

（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；

（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）连接BD，则E是BD的中点，F是PB的中点得EF//PD。线面平行转化为线线平行。

（Ⅱ）首先找出EF与平面PAC所成的角，由题意可得EF与平面PAC所成的角的大小等于。根据条件得，所以。

（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点

又F是PB的中点，∴ EF//PD，

∵ EF不在平面PCD内，∴ EF//平面PCD。

（Ⅱ）连接PE，∵ ABCD是正方形，∴

又平面，∴。

∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，

∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于

∵PA=AB=AD，，

∴≌，因此PD=BD

在中，，

∴EF与平面PAC所成角的大小是。