Question

折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣．因纸的长宽比称为白银分割比例，故纸有一个白银矩形的美称．现有一张如图1所示的纸，．

分别为的中点，将其按折痕折起（如图2），使得四点重合，重合后的点记为，折得到一个如图3所示的三棱锥．记为的中点，在中，为边上的高．

（1）求证：平面；

（2）若分别是棱上的动点，且．当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）通过证明，可得到平面ACD；

（2）因为且三棱锥的高为定值，所以当最大时，三棱锥的体积取得最大值，由此可确定M，N 两点为AB，BC的中点，接着通过建立空间直角坐标系求解，可得到本题答案.

（1）连接．设，

则，翻折后的．

在中，，，为的中点，

∴．又∵在中，，

∴为的中点，∴．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵且三棱锥的高为定值，

∴最大时，三棱锥的体积取得最大值．

设，所以

又∵为定值，∴当时，最大，即三棱锥的体积最大．此时分别是上的中点，

由（1）可得，，∴．

∵，，∴．

以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

，

．

设平面的一个法向量为．

∴，∴

取，则，∴平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为．

∴，∴

取，则，

∴平面的一个法向量为．

则．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．