Question

如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,,,是中点,为的中点,点在侧棱上(不包括端点).

(1)求证：

(2)是否存在点,使与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer

(1)证明见解析；(2)存在，.

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可证得，，由线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质证得结论；

（2）由面面垂直性质可知平面，则以为原点建立空间直角坐标系；设，利用向量线性运算可求得点坐标；根据线面角的向量求法可构造方程求得，进而得到结果.

（1）连接

，为中点

在菱形中， 为等边三角形

平面， 平面

平面

（2）平面平面，平面平面，

平面 ，，又

则以为坐标原点，可建立如下图所示空间直角坐标系

则，，，

假设存在点满足题意，设，

则

，，

设平面的法向量为

，令，则，

设与平面所成角为

则，解得：或（舍）

存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时