Question

在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为2的圆位于轴右侧,且与直线相切.

(1)求圆的方程；

(2)在圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大？若存在,求出点的坐标及对应的的面积；若不存在,请说明理由.

Answer

(1)(2)存在,点的坐标是与,对应面积的最大值为

【解析】

(1) 设圆心是,根据直线与圆相切的性质结合点到直线距离公式可以求出的值,也就可以写出圆的方程；

(2) 根据点在圆上,可以求出的取值范围,根据点到直线距离公式可以求出原点到直线的距离,利用垂径定理可以求出,最后求出的面积的表达式,最后利用配方法求出的面积最大.

解(1)设圆心是.

解得圆的方程为；

(2)点在圆,

.

又原点到直线的距离解得

.

.

当,即时取得最大值.

此时点的坐标是与,面积的最大值为.