Question

如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，△VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：平面MOC；

（2）求证：平面MOC平面VAB；

（3）求三棱锥A-MOC的体积．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据中位线定理可知VB，所以由线面平行的判定定理即可证出；

（2）因为为等腰直角三角形ACB的斜边中点，所以OC⊥AB，再根据面面垂直的性质定理即可知，OC⊥平面VAB，然后根据面面垂直的判定定理即可证出；

（3）根据等积法可知，，由（2）可知，OC⊥平面VAB，可计算出点到面VAB的距离为1，又根据相似可知，即可求出三棱锥A-MOC的体积．

（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，∴VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴平面MOC；

（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，

又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，

∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，∵O，M分别为AB，VA的中点．

∴．又∵OC⊥平面VAB，

∴三棱锥.