Question

某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f(n) 与时间n（1≤n≤30、nN*）的函数关系如下图所示，其中函数f(n) 图象中的点位于斜率为 5 和－3 的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.

(Ⅰ)求f(n) 的表达式，及前m天的销售总数；

(Ⅱ)按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于 30 件时，该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天？请说明理由.

Answer

(Ⅰ) ，（nN*），354 件；(Ⅱ) 不超过，理由见解析.

【解析】

(I) 根据题意，设，

而f(1) = 2，∴ 5 +a= 2,a= －3．

又 5m+a= －3m+b，∴b= 8m+a= 8m－3，

∴．

由f(m) = 57得m= 12．

前 12 天的销售总量为 5 (1 + 2 + 3 + … + 12)－3×12 = 354件．

(II) 第 13 天的销售量为f(13) = －3×13 + 93 =" 54" 件，

而 354 + 54 > 400 件，

∴ 从第 14 天开始销售总量超过 400 件，即开始流行．

设第x 天的日销售量开始低于 30 件 (12 21．

从第22天，日销售量开始低于 30 件，21-13=8，

∴该服装流行的时间不超过10天．