Question

已知函数在区间上有最大值4，最小值1，设函数．

（1）求、的值及函数的解析式；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；

（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围.

Answer

（1），，；（2）；（3）．

【解析】

（1）求出的对称轴，根据题意，根据二次函数的单调性，得到方程组，解方程组即可求出、的值及函数的解析式；

（2）对不等式进行常变量分离，运用配方法，最后求出实数的取值范围；

（3）令，方程变成为：，根据题意可知该方程两根的分布情况，得到不等式组，最后解不等式组即可.

（1）因为在区间上有最大值4，最小值1，则函数的对称轴为，

解得

所以，，，．

（2）不等式为，所以．

设，所以．因为，所以．

（3）原方程等价为，令，则

．（*）

记方程（*）两根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题意可知

或

所以．