Question

已知数列满足：，，且．

（1）求数列前20项的和；

（2）求通项公式；

（3）设的前项和为，问：是否存在正整数、，使得？若存在，请求出所有符合条件的正整数对，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）所有的符号条件的正整数对，有且仅有和两对，理由见解析.

【解析】

（1）根据递推公式直接代入求出各项，再分类求和即可.

（2）对根据的奇偶性进行分类讨论，判断出数列的性质，最后求出数列的通项公式.

（3）根据分组求和法求出的表达式，然后根据可以求出的表达式，最后根据题意，得到的表达式，可以确定的取值范围，然后根据的取值范围，逐一取正整数进行判断即可.

（1）

（2）当是奇数时，；当是偶数时，．所以，当是奇数时，；当是偶数时，．

又，，所以是首项为1，公差为2的等差数列；是首项为2，公比为3的等比数列．

因此，

（3）

，

．

所以，若存在正整数、，使得，则

．

显然，当时，；

当时，由，整理得．显然，当时，；当时，，

所以是符合条件的一个解．

当时，

．

当时，由，整理得，所以是符合条件的另一个解．

综上所述，所有的符号条件的正整数对，有且仅有和两对．