Question

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，和都是正三角形， ， E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D.

（Ⅰ）证明：直线⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据正三角形的性质和面面垂直的性质得面，继而可得出，由线面垂直的判断可得证；

（Ⅱ）以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，，得出点的坐标，继而求得面的法向量，根据二面角的坐标计算公式可得出二面角的正弦值.

（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF//AB，

在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，

∴PE⊥平面ABC，∴且PE⊥AB，又PD⊥AB，PEPD=P，

∴AB⊥平面PED， 又//，

∴，又，，

∴直线⊥平面.

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，

∴BE⊥平面PAC，

以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示：

则，, ，

设为平面PAB的一个法向量，则由得

，令，得，即，

设二面角的大小为，则，则,

，

即二面角的正弦值为.