Question

已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意建立关于的方程组，解之可得椭圆的方程；

（Ⅱ）联立直线的方程和椭圆的方程，得到关于交点坐标的关系，并且由根的判别式得出关于的不等式，从而得到线段的中点，和线段的垂直平分线的方程，由点在其垂直平分线上得出关于的方程，可得到关于的不等式，解之可得的范围.

（Ⅰ）由题意可知：， 得，

故椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）设，，将代入椭圆方程，

消去得，

所以，即…………①

由根与系数关系得，则，

所以线段的中点的坐标为．

又线段的垂直平分线的方程为，

由点在直线上，得，

即，所以…………②

由①②得，

所以，即或，

所以实数的取值范围是．