Question

正方体的棱长为1，M，N为线段BC，上的动点，过点，M，N的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的个数是（    ）

①当且时，S为等腰梯形；②当M，N分别为BC，的中点时，几何体的体积为；③当M，N分别为BC，的中点时，异面直线AC与MN成角60°；④无论M在线段BC任何位置，恒有平面平面

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

D

【解析】

根据异面直线的夹角及平面与平面垂直的判定,四棱锥体积公式可依次判断选项.

对于①,当时,与重合,, 过点,的平面截正方体所得截面如下图所示:

由平面与平面平行的性质可知且,

则截面为等腰梯形,所以①正确;

对于②,当M,N分别为BC,的中点时,位置关系如下图所示:

作,

因为,且

所以平面

所以为四棱锥的高

则,

此时

则

所以四棱锥的体积为,所以②正确;

对于③,当M,N分别为BC,的中点时,连接

由M,N分别为BC,的中点,可知

则与所成的角即为异面直线与所成的角.

根据正方体的性质可知,为等边三角形,即

因而异面直线与所成的角为,所以③正确;

对于④无论M在线段BC任何位置,平面即为平面

因为且

所以平面

而平面

所以平面平面

即平面平面

所以④正确.

综上可知,正确的有①②③④

故选:D