Question

已知函数，（）是定义在R上的奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）判断并证明的单调性；

（3）若存在，使不等式成立，求实数k的取值范围.

Answer

（1），；（2）在上是单调递增函数，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据是定义在R上的奇函数,由代入即可求得的值.再由定义代入即可求得的值.

（2）先判断函数的单调性,再根据定义,通过作差法即可证明函数的单调性.

（3）根据函数的单调性和奇偶性,即可将不等式化简为在上有解,结合基本不等式即可求得的取值范围.

（1）∵是定义在R上的奇函数

∴,即

此时

由恒成立得

解得

所以,

（2）由（1）知

判断在上是单调递增函数.

证明:任取,,则且

∴

即：,

故由函数单调性定义知：在上是单调递增函数；

（3）由（1）、（2）知是定义在R上的奇函数且单调递增,

∴由：

也就是说关于t的不等式在上有解,

∴在上有解.

即在上有解,

∵时,取得最小值为

∴即所求