Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与y轴交于O，P两点，圆过O，P两点且与直线：相切.

（1）求圆的方程；

（2）若直线：与圆，圆的交点分别为点M，N（不同于原点），试判断线段MN的垂直平分线是否过定点；若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是，.

【解析】

（1）对于圆的方程,令即可求得的坐标.设出圆的方程,将的坐标代入,结合即可求得圆的方程.

（2）联立直线与圆,求得交点的坐标, 联立直线与圆可得点坐标.进而求得线段的中点坐标.当斜率时,表示出线段的垂直平分线方程,即可求得所过定点坐标;当时,由和点坐标,即可求得线段的垂直平分线过的定点坐标.

（1）：,令,得,,故,

设圆的方程

将,的坐标代入圆的方程得,,故

由题意知,得

故圆的方程为

（2）由得

由得

线段的中点为

当时,线段的垂直平分线方程为

即

此时线段MN的垂直平分线过

当时,,

此时线段的垂直平分线为,也过

综上可知, 线段的垂直平分线所过定点的坐标为