Question

已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，求的最大值与最小值；

（3）设是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，，求点的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，，当时．（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）正方形的性质可得 ，求得

所以椭圆的方程为：．

（Ⅱ）设，因为是椭圆上一点，所以

．

因为

所以当时，，

当时．

（Ⅲ）设点的坐标为

当时，点和点 在轨迹上．

当且时，由，得．

又，

所以，所以为线段的中点．

在中，，所以有

综上所述，点的轨迹方程为