Question

如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；

（2）求出二面角的两个半平面的法向量，通过法向量的夹角求二面角的大小.

（1）证明：如图，建立空间直角坐标系，

可得有关点的坐标为，，，所以，所以；

（2）设是平面的一个法向量.

因为，所以，

解得.取，得，

因为平面，所以平面的一个法向量是，

设与的夹角为，则.

结合图形，可判别得二面角是钝角，其大小为.