Question

某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与底面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示，路宽AD=24米，设

（1）求灯柱AB的高h（用表示）；

（2）此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？

Answer

(1)；(2)时，所用材料的总长度最小，最小值为.

【解析】

(1)分别在△ABC和△ACD中，利用正弦定理即可解出答案；

(2)在△ABC中，利用正弦定理求出BC，再利用(1)的结果和三角函数的和差公式即可求得答案.

(1)由题意可得∠ADC=∠CAD∠ACD =，∠BCA=，

在△ACD中，由正弦定理可得：，

则AC=，

在△ABC中，由正弦定理可得：，

则AB=

.

即得.

(2)由(1)得AC=，AB=，

在△ABC中，由正弦定理可得：，

则，

所以.

由可得，可得当，即时，

即当公司设置的值为时，灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值为.