Question

设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋xy.

Answer

见解析

【解析】

由要证x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，作差可得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝(xy－1)(x－1)(y－1)，从而得证.

证明：由于x≥1，y≥1，

所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.

[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)·(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.

从而所要证明的不等式成立．