Question

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的极值点个数.

Answer

（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）求导，当时，求出和切线斜率，用直线方程的点斜式，求出切线方程；

（2）对在是否恒小于等于0，对分类讨论，求出单调区间，进而求出极值.

（1）的定义域为，

时，，

故在点处的切线斜率为，

又，

故在点处的切线方程为，

即：为所求切线方程.

（2）当时，在上恒成立，

函数在上单调递减，

所以在上没有极值点.

当时，由得：；

由得：，

所以在上单调递减，在上单调递增，

即在处有极小值.

综上：当时，在上没有极值点；

当时，在上有一个极值点.