Question

在直三棱柱中，，，为线段上一点，平面.

（1）求证：为中点；

（2）若与所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）连接交于，连接，则为中点.，由平面，根据线面平行的性质定理，可证，即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，设，得出坐标，进而有坐标，

由与所成角为，利用向量夹角公式求出，求出坐标，求出平面的法向量，根据线面角公式，即可求解.

（1）证明：连接交于，连接

∵，∴为正方形，∴为中点.

又平面，平面平面，

平面，∴，又为中点，

∴为中点.

（2）如图，以为原点，以，，为

，，的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，，

，，，.

∵与所成角为，

∴，

整理得或（舍去），

，∴，

∵为中点，∴，.

设平面的一个法向量为，

则，即，取，

得，，∴

设直线与平面所成角为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为