Question

如图所示，已知矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是半圆弧上异于，的点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，当三棱锥的体积最大且二面角的平面角的大小为时，试确定的值.

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）由已知结合面面垂直性质定理，可证平面，进而有，再由是半圆弧上异于，的点，且为直径，得到，可证明

平面，即可证明结论；

（2）当三棱锥的体积最大时，用等体积法，可得为的中点，建立空间直角坐标系，求出坐标，求出向量坐标，由，求出向量坐标，分别求出平面和平面的法向量，根据空间向量的面面角公式，得出关于的方程，求解，即可得出结论.

（1）由题设知：平面平面，交线为，

∵，平面，

∴平面，故.

又是半圆弧上异于，的点，且为直径，

∴.

又，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

由等积法知，

当三棱锥的体积最大时，最大，

则到边的距离最大，此时为的中点.

由题设知，，，，

，则，.

∵，∴，.

设平面的法向量为，

由，即，取，

设平面的法向量为，

由，即，取，

因二面角的平面角的大小为，

∴，整理得，

解得：或（舍去），

所以.