Question

已知函数，函数.

（1）当时，若对任意恒成立，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点和，求的取值范围，并证明：.

Answer

（1）； （2）见解析.

【解析】

（1），由已知得，问题转化为，，求，通过判断，得出单调性，以及，求出单调区间的极值，最值，进而求出结论；

（2），，时，，至多一个零点，不成立；时，求出单调区间，极值，分析函数值的变化趋势，求得由两个零点时，，，设，并满足，可得，令，则，即，要证，等价转化为证明，设，通过求导，再构造函数再求导，可证在上单增，即可证明结论.

（1）令，当时，.

若对任意恒成立，即为

∵，，

∴在上单调递增，又，

∴时，，在上单调递减；

时，， 在上单调递增，

∴，∴.

（2），，

时，，在上单增，至多一个零点，不成立；

时，由得，

在上单减，在上单增.

时，；时，，

要存在两零点只需，即，得.

不妨设，由得，

令，则，即，而

（*）

令，，

令，，

∴在上单增，，

∴，在上单增，

，故（*）成立，得证.