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已知直线是双曲线的一条渐近线,点都在双曲线上,直线与轴相交于点,设坐标原点为. ...

已知直线是双曲线的一条渐近线,点都在双曲线上,直线轴相交于点,设坐标原点为.

1)求双曲线的方程,并求出点的坐标(用表示);

2)设点关于轴的对称点为,直线轴相交于点.问:在轴上是否存在定点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

3)若过点的直线与双曲线交于两点,且,试求直线的方程.

 

(1);(2)存在定点,其坐标为或(3) 【解析】 (1)求得双曲线的渐近线方程,可得,由题意可得,,可得双曲线的方程,求出直线的方程,可令,求得的坐标;(2)求得对称点的坐标,直线方程,令,可得的坐标,假设存在,运用两直线垂直的条件:斜率之积为,结合在双曲线上,化简整理,即可得到定点;(3)设出直线的方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理,由向量数量积的性质,可得向量,的数量积为0,化简整理,解方程可得的值,检验判别式大于0成立,进而得到直线的方程. 【解析】 (1)由已知,得,故双曲线的方程为 为直线AM的一个方向向量, 直线AM的方程为它与轴的交点为 (2)由条件,得且为直线AN的一个方向向量, 故直线AN的方程为它与轴的交点为 假设在轴上存在定点,使得,则 由及得 故即存在定点,其坐标为或满足题设条件. (3)由知,以为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为矩形,从而 由已知,可设直线的方程为并设 则由得 由及得且(*) 由 得 故符合约束条件(*). 因此,所求直线的方程为
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